现值与终值当你投资一笔钱，之后每一年都会收回一些利息，在最后一年将本金和当年的利息全部收回来，这笔投资结束了。那么你到底赚了多少钱呢？首先我们要引入"货币的时间价值"这个概念。货币的时间价值指的是今年我的钱，比如说100元，存入银行吃利息（存入银行吃利息毫无风险），比如说利息是3%，那么明年这100元会变成多少呢？ 100 \times (1 + 3\%) = 103 103块，也就是说今年我的100元，可以等价于明年的103元。如果我不取钱，那么到了后年，应该是多少钱呢？ 100 \times (1+3\%)^2 = 106.09 比106块稍微多一点点。那么存了n年，应该是多少钱呢？ 100 \times (1 + 3\%)^n 很显然，应该是这么算。此时这个公式算出来的值，被称为终值(Final Value, FV)，指的某一笔钱最后一期的金额。 刚刚说了，当n=2时，是106.09元，也就是说我把钱存了2年，能得到106.09元，那么反过来看，当我知道以上条件了，我想要知道我需要投资多少钱，才能在2年后得到106.09。很显然，我们应该在一开始投入100元，这个100元就是2年后的106.09的现值(Present Value, PV)。 FV = M \cdot (1+r)^n \\ PV = \frac{M}{(1+r)^n}
我们可以知道，现值和终值是可以互相转化的。由于我们现值通常是投入一笔钱，即支出，因此在金融计算器当中，例如BAII，PV是负数，表示支出。 现金流现在问题更复杂了些，一开始我投入一笔钱，之后会有若干年，每年年终都收到一笔钱，到最后一年本息付清。那么它的PV应该如何计算呢？ NPV = CF_0 + \frac{CF_1}{1+r} + \frac{CF_2}{(1+r)^2} + ... + \frac{CF_n}{(1+r)^n}
即把每一年的现金流计算其现值，与第0期的投入 CF_0 相加，得到的值，就称其为净现值(Net Presetn Value, NPV)。NPV > 0则代表这笔投资我是赚钱的，如果NPV < 0，则代表这笔投资我是亏钱的。 例如，我第一年投资了100元，之后3年每年收到利息10元，并且在第三年年末，回收了本金100元。假设存银行的利率是3%，那么则有 \begin{aligned} NPV &= (-100) + \frac{10}{1+3\%} + \frac{10}{(1+3\%)^2} + \frac{110}{(1+3\%)^3} \\ &\approx 19.8 \end{aligned} 净现值有19.8，说明赚钱了。 什么是IRRIRR(Internal Rate of Return)，内部收益率，还用刚才的式子解释比较合适 NPV = CF_0 + \frac{CF_1}{1+r} + \frac{CF_2}{(1+r)^2} + ... + \frac{CF_n}{(1+r)^n} 这是计算净现值的式子，假设每一期的现金流我都知道，那么如果NPV=0，即 CF_0 + \frac{CF_1}{1+r} + \frac{CF_2}{(1+r)^2} + ... + \frac{CF_n}{(1+r)^n} = 0 上式中，每一期的CF我都是知道的，如果想让这个式子成立，利率r应该为多少？ 之所以提出这个问题，就是我想知道，这一笔投资，如果我不投了，去存银行，那么银行给我多少利息，等价于我这笔投资的收益？ 例如 -100 + \frac{10}{1+10\%} + \frac{10}{(1+10\%)^2} + \frac{110}{(1+10\%)^3} = 0 如果我这笔投资，投入了100元，之后3年末都会给我10元的利息，并且第3年末会收回100元的本金，这就实际上相当于存入银行，银行给10%的利息，这二者是等价的，净现值为0。 那么在此处，这里的10%就是这笔投资的内部收益率(IRR)。 所谓内部收益率，就是使得一笔投资各期现金流净现值为0的折现率。 内部收益率有一个隐含着的很重要的假设：假设每期收到的现金流能以内部收益率进行再投。 为什么会有这种假设？我们从这个净现值的公式就可以看出，这个现金流折现，既能以利率r向前折算为PV，也能以利率r向后折算到FV。它隐含假设了利率r固定不变。并且任何一期的钱可以以利率r来折算到终值。那么这个以内部收益率进行再投的假设就显而易见了。 那么有个问题，如果我这个项目收到的现金我就趴在活期账户上，那么我最终能达到复利10%吗？那当然绝对不可能！这是内部收益率和真正得到的复利不同的地方。 如何计算IRRExcel最简单的方法，是使用Excel的IRR函数  问题提出如果只是按个excel，我们的讨论到这里就应该结束了，不过我这里要仔细讨论下，其计算原理到底是什么。下面是IRR的式子 CF_0 + \frac{CF_1}{1+r} + \frac{CF_2}{(1+r)^2} + ... + \frac{CF_n}{(1+r)^n} = 0 每一期的现金流是已知的，净现值为0，未知数只有一个，利率r。怎么把r求出来？ 梯度下降法在解决这个问题前，首先要看一个更为简单的问题。 假设我有一个函数f(x) y = x^2 + 2x + 1 我要寻找到它的最小值，应该怎么去做？ 当然对于这个例子而言，我们一眼能看的出来最小值就是x=-1的时刻，y=0。但是我们可能面对更为复杂的情况，因此这里介绍另一种解法。 假设我随机选取一点P，由于是随机的，因此这个位置几乎不可能取在最小值，不过没关系，我们研究当前点P。为了简单起见，我们假设P点的X坐标为-4。我们的目标是找到最低点P0。现在我们关注一件事情，就是在P点的导数应该怎么求。 \frac{dy}{dx} = 2x + 2 当x=-4时 \frac{dy}{dx} = 2 \times (-4) + 2 = -6 也就是说，沿着这个函数的切线方向，x增加一个单位，y会降低6个单位。而我们的目标，就是取到y的最小值，那么我们可以尝试让x前进一个单位，用以接近最低点。 x = -4 - \frac{1}{6}\cdot (-6) = -3 看得出来我们用到了一个1/6这个值，因为当前我计算出来的导数为-6，为了简便起见能凑个步长为1，移动到-3，我这里取了一个1/6，当然，严格意义上讲，这个值取多少都可以，我们只是想让x移动一下。 现在我们到了这个位置，还按照刚才的办法，计算导数，当然，计算的结果还是负的，从图像上我们就能看得出来，在-3这个位置上，曲线方向还是斜向下的。那么我们就可以总结出来 x_t = x_{t-1} - \eta \frac{dy}{dx}
在上边，当x=-4时，其导数的值为-6，为了方便起见我可以设置学习率 \eta=1/6 ，那么就变成了 \begin{cases} x_t = x_{t-1} - \eta \frac{dy}{dx}\\ x_{t-1} = -4 \\ \eta = \frac{1}{6} \\ \frac{dy}{dx}\Big|_{(x_{t-1})} = -6 \\ \end{cases} \\ x = -4 - \frac{1}{6}\cdot (-6) = -3 我们从任意一点开始，根据当前的导数值的正负号，来决定自变量x应该增加还是减少。那么迭代什么时候停止呢？当导数取值接近0的时候，就是在最低点，迭代就可以停止了。 在这个算法中，我们是在尝试去寻找一个函数的最小值，而判断最小值的标准，就是它的导数接近0。因此梯度下降只能找到局部最小。对于简单的一维问题用的是导数，对于多维问题呢？用的就是偏导数，即梯度。 用一幅图来形象地表示，就是我们由山顶慢慢走到山脚下的过程。 总结一下，在梯度下降法中，我们需要知道一个损失函数 L(\theta) ，对它的要求有一个 L(\theta) \ge 0, \quad \forall \theta
我们的目标就是希望调整 \theta ，使得这个损失函数的值达到最小，经过设计的损失函数就是达到最低点：0。 我们需要知道的另一个函数就是这个损失函数的梯度 \frac{\partial L}{\partial \theta} 这样我们就知道应该往哪个方向调整参数 \theta 。 \theta_t = \theta_{t-1} - \eta \frac{\partial L}{\partial \theta} 用梯度下降来计算IRR我们之前说到了净现值 NPV = CF_0 + \frac{CF_1}{1+r} + \frac{CF_2}{(1+r)^2} + ... + \frac{CF_n}{(1+r)^n} 这里我们可以用另一种写法 NPV = \sum_{i=0}^n CF_i \cdot (1+r)^{-i} 我们希望调整参数r，来使得它为0，那么看起来NPV本身就有成为损失函数的潜力。但还差一点，就是NPV可能为负，因此，我们把它平方 L(r) = (\sum_{i=0}^n CF_i \cdot (1+r)^{-i})^2 这样一来这就是一个符合我们希望的损失函数了。下面一个问题，就是求它的导数 \frac{dL}{dr} = 2 \cdot (\sum_{i=0}^n CF_i \cdot (1+r)^{-i}) \cdot \Big(\sum_{i=0}^n CF_i(-i)(1+r)^{-i-1}\Big) 好了，损失函数和它的梯度都有了，经过一系列迭代之后，结果将收敛。 在实际进行编程的时候，会发现，r的单位太大了，1就代表了100%，得到的梯度会非常大，这并不利于我们进行梯度下降，因此，需要把r的单位缩小一下，我这里使用的是千分之一。那么损失函数和其导数就要稍微变化一下了 L(r) = (\sum_{i=0}^n CF_i \cdot (1+\frac{r}{1000})^{-i})^2 \\ \frac{dL}{dr} = 2 \cdot (\sum_{i=0}^n CF_i \cdot (1+\frac{r}{1000})^{-i}) \cdot \Big(\sum_{i=0}^n CF_i(-i)(1+\frac{r}{1000})^{-i-1}\Big) \cdot \frac{1}{1000} \\ r_t = r_{t-1} - \eta \frac{dL}{dr} 下面举例，我投资100元，后面三年每年年末都能收到10元利息，并且第三年末回收100元本金。 计算结果收敛到了千分之99.999，即IRR为10%。 |
Irr计算公式
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