Log 是 什麼

我們在中學時都學過「對數」，知道它是從指數衍生而來，有所謂常用對數、自然對數，可用於多位數的乘除計算；然而大多數人學得不知其所以然，只是更加劇對數學的畏懼。

對數的原文是"logarithm"，是由兩個希臘字"logos"及"arithmos"合組而成，前者意為比例，後者意為數目，合起來的意思就是「比例的數目」。對數東傳之初就譯成「比例數」，後來才改稱為對數。

清朝數學家梅文鼎在其《勿?曆算書目》（1702年）的自序中說：「……比例數表者，西算之別傳也。其法一至萬，並設有他數相當，謂之對數。假令有所求數（或乘或除），但於本表間兩對數相加減，即得相求。」由此可知，對數指的是真數在比例數表中相對應的數。

那麼原來的「比例數」是什麼意思呢？這一切要從天文所需的繁雜計算談起。天文學固然需要平面幾何及三角的助算，球面（地球與天球的）三角的計算更是不可或缺。平面三角學的計算原理，主要是正弦律與餘弦律：

a/sinA=b/sinB=c/sinC , c2=a2+b2–2ab cosC
球面三角學的計算原理則是把這兩個定律延伸到球面上：
sin a/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC,
cosc=cosa cosb+sina sinb cosC
天文數值通常需要很多位數，多個多位數數值相乘或相除，讓天文學家陷入了計算的泥沼之中。

為了稍解天文計算的苦惱，數學家首先想到可以利用三角學中積化和差的公式。此積化和差一共有四個公式，我們且舉其中的一個來加以說明：

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A–B)

假定要做兩數x=1.234,y=56.78的相乘計算，我們把x, y寫成為x=10×0.1234, y=102×0.5678。查表找出sinA=0.1234, cosB=0.5678的A、B兩角。則xy=101+21/2(2sinAcosB)=1031/2(sin(A+B)+sin(A–B))

所以剩下的只是查表、加減的計算、103的移位計算，以及1/2的減半計算；這些查表與計算，比起多位數的乘除計算要簡單多了。

雖然計算簡化了，但步驟次數變多，天文學家還是不滿意，於是數學家開始思考另類的積化和差方法。對數的發明者，業餘數學家納皮爾（John Napier）想到指數律pm．pn=pm+n：如果要相乘的兩個正數x、y都可寫成為某正數p的指數x=pm, y=pn，則兩數x、y相乘除的計算，就變成兩數m、n相加減的計算。

但那時大家熟悉的指數m都是（正）整數，底數p只要大於1，則不是任何正整數x都可寫成為pm的形式；p自然也不能等於1。幾經思考，納皮爾終於選定p=1–1/107，然後考慮數列[107pm]，只計算到整數部份。此數列相鄰兩項，其差不會超過1，因此0與107之間的任何整數x都可寫成為某個[107pm]，則m就是x的納皮爾對數值；我們就把它記做logNx=m（N代表Napier）。它雖然不是我們熟悉的對數，但仍然有類似於對數的性質：

logNxy/107=logNx+logNy，仍可用來簡化乘法的計算。

納皮爾的對數發表後，引起數學家布立格茲（Henry Briggs）的注意，他親自拜訪了納皮爾。經過討論後，兩人理清了對數的本質：在十進位的計算中，底數應該為10，而指數就不限於整數；這就是常用對數了。

在納皮爾的對數中，p是個公比，對數值m是比例p自乘的次數，所以稱為「比例數」。等到改成常用對數，指數不一定是整數，就不好說是底數的自乘次數，因此再也不是比例數。所以對數東傳，先是譯成比例數，隨後就改稱為對數。但在對數的原產地歐洲，大家已經習慣於"logarithm"這個字以及其所指的內容，也就不去追究其原意了。

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　　我們知道，如果想要利用數學工具求得答案，時常要用到反向的運算來達成目的。比如說你現在 24 歲、你姊姊 27 歲，你想要知道你的年齡加上多少會等於姊姊的年齡，那你就要利用減法來得到 3（歲）；比如說你的戶頭存款有 250 元、你的同學存款有 7500000 元，你想要知道你的存款乘上幾倍會等於他的存款，那你就要利用除法來得到 30000（倍）。

　　冪運算也同理，我們需要一個針對冪運算來反向運算的工具。這篇算是為了接下來要講的對數微分法鋪路，我們今天就來講講所謂的對數函數 log 吧。

。複習冪運算

　　冪（ㄇㄧˋ）運算就是我們平常講的「次方」，而乘上的次方數，被稱為指數。

　　從加減乘除來看，我們知道乘法就是連續的加法：

　　5 × 3 = 5+5+5

　　那麼冪運算就是連續的乘法了：

　　5³ = 5×5×5

　　我們還可以根據乘法擴展出指數的規律：

　　這些概念對於大部分的人來說都很熟悉，因為它就是個連續的乘法而已，當然我們也可以利用除法來推斷出：

　　一般來說我們知道如果一個正數不斷乘上某個大於 1 的數，那它增長的速度只會越來越快。

　　指數型增長有多可怕？假設現在培養皿裡面有一顆細胞，它每過 10 分鐘就會分裂一次，分裂出來的細胞還可以再繼續分裂下去。起初的 30 分鐘，1 顆變 2 顆、2 顆變 4 顆、4 顆變 8 顆，看起來還不算非常驚人，但經過了 5 個小時（30 次分裂），培養皿就從本來的 1 顆變成 10 億多顆細胞了！這種增長模式就是我們平常在說的「指數型成長」，寫成數學式子可以這樣表達：

　　反之，如果我們每天往一個裡頭已經有 2000 元的存錢筒投入 100 元，經過 30 天，裡面的錢也只不過是 5000 元而已——這樣每次增加一定量的增長模式就是「線性增長」，因為我們把它畫成函數圖形的時候會呈現一條直線。

。拆解冪次的工具：對數

　　就像剛才所說的：倘若現有一組線性的關係，因為它就只是一條單純的直線，我們通常可以用簡單的加減乘除來拆解它、預測它——但涉及冪次運算的指數關係就不同了。為了把指數關係變得像線性關係一樣單純，數學家定義了「對數函數」，把指數直接提出來：

　　log 10 = 1（因為 10 是 10 的 1 次方）

　　log 100 = 2（因為 100 是 10 的 2 次方）

　　log 1000 = 3（因為 1000 是 10 的 3 次方）

　　log 10000 = 4（因為 10000 是 10 的 4 次方）

　　……

　　千萬不要覺得它很可怕，它只是一個函數，只不過把函數的名字取作 log 罷了。當我們遇上了指數增長的關係，我們就可以利用 log 函數來簡化運算。

。對數的用法

　　不過這還不是全部。

　　我們回歸到 log 的本質：既然 log 函數是用來計算 10 相乘的次數，也就是把「10 的連續乘法」轉換為「1 的連續加法」，那麼裡面的數字相乘，對於 log 函數的值的影響也只不過是加起來而已：

　　log(1000×100) = log[(10×10×10)×(10×10)]

　　=  log 1000 + log 100 = 5

　　簡單來說：

log(AB) = log A + log B

　　有了這樣的特性，我們就可以把原先難以計算的指數提到 log 函數外面，最後變成線性的關係，就能夠以單純的加減乘除來計算。

　　不過，如果今天我們要求取的對象不是 10 的整數次方呢？100 是兩個 10 的乘積，那麼 200 呢？

　　這裡就要用到 log 的規律來解決了，我們可以得到：

　　log(200) = log(10×10×2) = log(10) + log(10) + log(2) = 2 + log(2)

　　也就是說：200 是 10 的 (2 + log 2) 次方。這裡的 log 2 表示的值，意思就是「10 的『log 2』次方會等於 2」。

　　經過數學家的計算，log 2 大約等於 0.30102999566，通常取到 0.301 就很夠用。換句話說，10 的 0.301 次方，大約等於 2——至於數學家是怎麼從 2 算出 0.301 的？不要問，這很複雜，可能會講到天黑。

　　這樣的概念可能很抽象，不過有了這些規律，我們就可以簡化很多計算流程。

　　直接實作吧。假設你的存款現在有 20000 元，每年會有 1.1% 的利息，像這樣以複利模式計息，經過 n 年以後，你的存款應該會是

　　如果我們想要知道「不另外存錢進去的話，總存款何時會達到 22000 元」，那我們就可以根據問題列式：

　　接下來把式子整理過，兩邊同時除以 20000，右邊就變成了 1.1，接著再按照我們之前提到的等量公理：「在 A = B 的情況下，因為它們兩個本來就是相同大小的東西，所以必然有 log A = log B」：

　　就可以得到結果：「過了 9 年，你的總存款會達到（超越）22000 元。」

　　你會注意到，整個計算環節裡面最困難的地方就是求取 log 1.011 和 log 1.1 的值。一般來說在這算這類東西的時候，我們可以利用對數表（已經把常用 log 值計算好並且列出來的表）或者是直接從電腦利用計算機求取。

　　只要有了對數工具，像這樣的指數問題，就能直接把難以處理的指數提取出來成為係數，讓問題變得更簡單。即使今天本金的數量改成別的數字，我們仍然能夠循著同樣的模式快速地得出我們想要求取的東西。

　　不只這樣，我們日常中用到的聲音分貝單位、地震芮氏規模，它們的計算也用到了對數。地球上發生的不同地震能量差距可能非常大，所以科學家定義地震規模每相差 1.0，能量的釋放就相差「10 的 1.5 次方」倍（差不多是 32 倍）：

　　log E = 4.8 + 1.5M（E 為能量，M 為地震規模）

　　所以，規模 5.0 的地震和規模 9.0 的地震，它們之間的能量就相差了 1,000,000 倍了。用這種方法來表示地震的能量就會很好懂，人類也才不會陷入像七龍珠一樣「每個怪物的戰鬥力都爆表，但因為位數太多所以感受不到誰強誰弱」的情況。

。更多種類的對數

　　雖然我們已經很習慣用十進位來衡量一個數的大小，但有些時候也不是非要用 10 當標準不可。log 其實也可以拿其他的數字作為標準，比如說我們把標準訂為 3，就有：

　　我們讀作「log 以 3 為底的 81，等於 4」。

　　這意思就是，81 是 3 的 4 次方，所以我們把它取以 3 為底的 log，就會得到 4。如果今天我們取

　　一般來說這個寫在下面作為基準的小數字 a 稱為「底數」，被取的數字 b 稱為「真數」，不特別去指定底數的話就是 10。

。自然對數

　　在微積分的相關領域裡，就不愛使用以 10 為底的 log 對數了。

　　數學家們曾經證明：

　　這樣一個式子最後會收斂到一個無理數 2.71828...（還沒學過 lim 符號的話可以看看《數學的極限：友達以上，戀人未滿》），這個常數被稱為「尤拉數」，一般來說我們會用小寫 e 來表示。它具有一些奇怪的性質，例如：

Log是什么意思？

Log函数是什么意思？

Log谁发明的？

LOG是怎么计算的？